2025.11.3

Overview

  1. 学习笔记
  2. 今日总结

学习笔记

概率

  1. 点估计
    1. 核心定义
      1. 估计量（Estimator）：是样本X1、X2、··· 、Xn的函数（统计量），用于推断总体参数θ，如样本均值¬X = （X1+X2+···+Xn)/n是总体均值μ的估计量
      2. 估计值（Estimate）：估计量在具体样本下的取值，如由观测值x1、x2、···、xn计算的¬x是μ的点估计值
    2. 估计量的评估标准
      1. 无偏估计（Unbiased Estimator）
        1. 定义：若统计量¬Θ满足E[¬Θ]=θ，则¬Θ是θ的无偏估计量（估计量的期望等于真实参数）
        2. 关键示例：样本方差S^2是总体方差σ^2的无偏估计量
      2. 估计量的方差（Variance of an Estimator）
        1. 核心原则：当¬Θ1和¬Θ2均为θ的无偏估计时，选择方差更小的估计量（抽样分布更集中，估计更精确）
        2. 最有效估计（Most Efficient Estimator）：在所有θ的无偏估计中，方差最小的估计量
        3. 示例结论：若三个估计量¬Θ1、¬Θ2、¬Θ3中，仅前两者无偏且¬Θ1方差更小，则¬Θ1是最优选择
  2. 区间估计
    1. 基础概念
      1. 区间估计定义：通过样本确定一个区间¬ΘL < Θ < ¬ΘU，其中¬ΘL（下边界）和¬ΘU（上边界）依赖于估计量的抽样分布，反映 “真实参数大概率落在该区间” 的范围
      2. 置信区间（Confidence Interval）：
        1. 定义：100(1−α)%置信区间表示 “长期重复抽样下，95%（如α=0.05）的此类区间会包含真实参数”
        2. 关键误区：不能说 “某具体区间含参数的概率是1−α”，因为区间计算后是确定值，要么含参数要么不含；概率仅反映估计 procedure 的可靠性
        3. 理想区间：短区间 + 高置信度（如 95% 置信区间[6,7]优于 99% 置信区间[3,10]）
    2. 单样本估计总体均值μ（Single Sample: Estimating μ）
      1. 场景 1：总体方差σ^2已知（大样本n≥30适用 CLT）
        1. 抽样分布：由中心极限定理（CLT），¬X ∼ N(μ,σ^2/n)，标准化后Z = （¬X - μ） / σ/√n ∼ N（0,1）
        2. 置信区间公式：¬x - z(α/2)·σ/√n < μ < ¬x + z(α/2)·σ/√n，其中z(α/2)是标准正态分布右侧面积为α/2的分位数（如 95% 置信度下z(0.025)= 1.96）
      2. 场景 2：单 - sided 置信界（σ^2已知）
        1. 适用场景：仅关注 “下界”（如钢棒抗拉强度）或 “上界”（如河流汞含量）
        2. 公式：
          1. 下置信界（95%）：μ > ¬x - z(α)·σ/√n
          2. 上置信界（95%）：μ < ¬x + z(α)·σ/√n
      3. 场景 3：总体方差σ^2未知（小样本n<30且总体正态）
        1. 抽样分布：用样本标准差S替代σ，统计量 T = （¬X - μ） / S/√n ∼ t(n-1)（t 分布，自由度df=n−1）
        2. 置信区间公式：¬x - t(α/2),(n-1)·S/√n < μ < ¬x + t(α/2),(n-1)·S/√n
    3. 两样本估计总体均值差μ1−μ2（Two Samples: Estimating μ1−μ2）
      1. 点估计：¬X1 - ¬X2（两样本均值差）
      2. 三大场景对比：
        场景 前提条件 抽样分布 关键参数 / 公式
        场景 1：σ^2(1)、σ^2(2)已知 大样本（n1≥30，n2≥30），CLT 适用 Z 分布 区间含 √（σ^2(1)/n1 + σ^2(2)/n2）
        场景 2：σ^2(1) = σ^2(2)未知 小样本，总体正态 t 分布（df=n1+n2−2） 合并方差 S^2(P) = （（n1-1）S^2(1) + （n2-1）S^2(2)） / n1+n2-2
        场景 3：σ^2(1) != σ^2(2)未知 小样本，总体正态 t’ 分布（df=v） 自由度 v = （S^2(1)/n1 + S^2(2)/n2）^2 / （S^2(1)/n1）^2/n1-1 + （S^2(2)/n2）^2/n2-1，向下取整
    4. 配对观测（Paired Observations）
      1. 适用场景：
        1. 同一单元接受两条件（如 15 人节食前后体重）
        2. 配对单元接受两条件（如 IQ 相同的两人分属传统 / 新型教学班级）
        3. 目的：消除 “单元间差异”（如汽车差异对轮胎磨损的影响），提高估计精度
      2. 核心方法：将配对观测转化为 “差异样本”di = x(1i) - x(2i)，估计μD = μ1 - μ2（差异总体的均值）
      3. 置信区间公式：
        1. 小样本（n<30，di正态）：¬d ± t(α/2),(n-1)·Sd/√n
        2. 大样本（n≥30）：用 Z 分布，¬d ± z(α/2)·Sd/√n
    5. 单样本估计总体方差σ^2（Single Sample: Estimating σ^2）
      1. 抽样分布：统计量 X^2 = （n-1）S^2 / σ^2 ∼ X^2(n-1)（X^2分布，自由度n−1），该分布非对称，分位数需区分X^2(α/2)和X^2(1 - α/2)
      2. 置信区间公式：（n-1）s^2 / X^2(α/2),(n-1) < σ < （n-1）s^2 / X^2(1 - α/2),(n-1)
    6. 两样本估计总体方差比σ^2(1)/σ^2(2)（Two Samples: Estimating σ^2(1)/σ^2(2)）
      1. 点估计：s^2(1)/s^2(2)（两样本方差比）
      2. 抽样分布：统计量 F = σ^2(2)S^2(1) / σ^2(1)S^2(2) ∼ F(n1-1),(n2-1)（F 分布，分子自由度n1−1，分母自由度n2−1），满足 f(1-α/2)（v1，v2） = 1 / f(α/2)（v2，v1）
      3. 置信区间公式：S^2(1)/S^2(2) · 1/f(α/2)（n1-1，n2-1） < σ^2(1)/σ^2(2) < S^2(1)/S^2(2) · f(α/2)（n2-1，n1-1）
      4. 核心用途：判断方差是否相等 —— 若区间不含 1，则认为σ^2(1) != σ^2(2)；含 1 则认为方差相等

今日总结

  1. 今天参加的这周的城市之旅活动体验感非常好，首先把我之前探索的路线骑了一圈，然后我们去到了一个古镇上参观，最后还去到了长江边上，过程中聊天也挺开心的，希望以后也会这么开心
  2. 今天在结束了城市之旅活动后我还去参加了班级举办的羽毛球活动，在活动上认识了一个非常热情的朋友，即使活动结束后我们俩也聊了许久